Cette vidéo est une conférence donnée à Paris le 13 février 2010, dans le cadre des conférences "Les Ernest".

Gilles Dowek, chercheur et professeur d'informatique à l'École Polytechnique, nous montre les liens entre la démonstration mathématique et l'usage des ordinateurs à l'aide d'un exemple simple, celui des équations diophantiennes.

Qu'est-ce qu'une équation diophantienne ?

Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Le terme est aussi utilisé pour les équations à coefficients rationnels. Les questions de cette nature entrent dans une branche des mathématiques appelée arithmétique.

Si l'expression du problème posé est parfois simple, les méthodes de résolution peuvent devenir complexes. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), un mathématicien du XIXe siècle, disait des problèmes de cette nature : « Leur charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. »

Certaines équations diophantiennes ont demandé pour leur résolution les efforts conjugués de nombreux mathématiciens sur plusieurs siècles. Gauss se plaignait « des efforts démesurés que lui a coûté la détermination d'un signe d'un radical dans la théorie des nombres ; bien d'autres choses ne l'ont pas retenu autant de jours que cette question l'a retenu d'années. » Le dernier théorème de Fermat est un exemple archétypal, il est conjecturé par Pierre de Fermat (1601 - 1665) et résolu en 1994 par Andrew Wiles après 357 ans d'efforts de la part de nombreux mathématiciens.

L'intérêt de la résolution de questions de cette nature réside rarement dans l'établissement d'un théorème clé pour les mathématiques, la physique ou les applications industrielles, même s'il existe des contre exemples comme la cryptologie, qui fait grand usage du petit théorème de Fermat. Leur analyse amène le développement d'outils mathématiques puissants dont l'usage dépasse le cadre de l'arithmétique. Les formes quadratiques sont à cet égard exemplaires. La richesse et la beauté formelle des techniques issues de la résolution d’équations diophantiennes fait de l'arithmétique la branche reine des mathématiques pour David Hilbert.

Ce type d'équation doit son nom au mathématicien grec Diophante d'Alexandrie, un mathématicien vivant à une date incertaine, probablement autour du IIIe siècle. Il est l'auteur d'un traité, Arithmétiques, étudiant des questions de cette nature.

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_diophantienne ().

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