Cette vidéo aborde un problème mathématique des plus déroutant : quelle est la valeur de la somme infinie des nombres entiers naturels : 1+2+3+ ... + ∞ ?

Intuitivement, nous sommes portés à penser que :

• La somme est forcément positive.
• Que la somme est immense, incommensurable, infinie.

Oui mais voilà : des mathématiciens seraient parvenus à calculer cette somme, et ils trouvent comme résultat : -1/12. Incompréhensible...

Dans la vidéo, selon moi, le raisonnement consistant à dire que si :

A = 1-1+1-1+ ... ∞,

et que :

-A = -1+1-1+1- ... ∞,

et que :

1-A = 1 - (1-1+1-1+ ... ∞),

alors :

1-A = A

me semble faiblard ou erroné dans le sens où la partie de droite en rouge n'est pas A (même si cela lui ressemble) car le nombre d'éléments de cette partie est supérieure de 1 élément (le premier 1) au nombre d'éléments de A (ceux entre parenthèses). Dit autrement, comment deux ensembles X et Y peuvent-ils être identiques, et à fortiori la somme de leurs éléments égale, si le nombre d'éléments de X est inférieur au nombre des éléments de Y ?

Cela dit, je n'ai pas la prétention de résoudre une telle énigme, et je me trompe sûrement. Mais au moins, ce qui est sûr, c'est qu'il y a une forme incohérence dans le fait rendre équivalent deux suites dont le dénombrement de termes est différent de 1 élement. Peut-être que puisqu'on somme à l'infini ça n'a pas d'importance ? Je me suis alors demandé quel serait le résultat si commençait la même suite par -1 au lieu de 1 :

B = -1+1-1+1- ... ∞.

Selon l'arithmétique utilisée dans la vidéo, B devrait être égal à -1/2 (alors que A vaudrait 1/2). Cela montre donc que rajouter ou transformer un des éléments en son contraire change selon cette arithmétique le résultat final. Dans ces conditions, dire que  1 - (1-1+1-1+ ... ∞) vaut A est incompréhensible.

Cette contradiction apparaît encore plus dans cet [article] () où l'auteur présente le problème en disant que si :

A= 1-1-1-1+1- … ,

on peut ensuite observer que :

A = 1-1+1-1+1-  … = 1 - (1-1+1-1+1- …)

mais on reconnait que le terme entre parenthèses n’est autre que A lui-même, on a donc l’égalité :

A = 1 – A

Encore une fois, la partie en rouge est assimilée à A alors même qu'il lui manque le premier élément. Étrange.

Maintenant, ce problème mathématique a été étudié par de très grands mathématiciens (Bernhard Riemann, Srinivasa Ramanujan, Godfrey Harold Hardy, Leonhard Euler), dont certains étaient même des génies, alors je vois pas ce que je pourrais, à mon niveau de nain, pouvoir résoudre. ^^

Une énigme bien prise de tête qui montre combien notre esprit est inadapté, dans son état actuel, aux Mystères incroyables et très troublants de l'Univers.

Une vidéo didactique et claire, à la portée de tous, sur un problème tout à fait étonnant.

À voir !

[MAJ] : J'ai fait divers essais (avec mêmes des nombres différents de 1) pour savoir si on a le droit d'assimiler un nombre supplémentaire à une suite infinie pour en former une autre et l'assimiler, et ça marche. Donc les réserves que j'ai émises dans ce commentaire sont caduques. Ça marche bien. Incroyable ! Qui l'aurait cru ?

Autre chose étonnante  : j'ai découvert que :

Dingue !

Nota Bene :

• Les démonstrations mathématiques exposées dans cette vidéo sont à la portée de tous.
• Pour un meilleur confort auditif, j'ai rehaussé le son de cette vidéo de 3 dB.